Question

在RT△ABC中∠ACB=90°,AB=5,sin∠CAB=4/5,D是斜边AB上一点 过点A作AE⊥CD

在RT△ABC中∠ACB=90°,AB=5,sin∠CAB=4/5,D是斜边AB上一点 过点A作AE⊥CD，垂足E，AE交直线BC与点F
1）当tan∠BCD=1/2时 求线段BF的长
2）当点F在线段BC上是，设AD=x,BF=y，求y关于x的函数解析式，及定义域
3）当BF=5/4 ，求线段AD的长

Answer 1

1）当tan∠BCD=1/2时 求线段BF的长

解析：∵在△ABC，∠ACB=90°，AB=5，sin∠CAB=4/5

∴BC=4，AC=3

在△ACF和△CEF中

∵AE⊥CD，∠AFC=∠CFE

∴△ACF∽△CEF，FE/EC=CF/AC

又tan∠BCD=1/2

∴FE/EC=CF/AC=1/2==>CF=3/2

BF=BC-CF=4-3/2=5/2；

2)如图，两种情况：以高AO为界，AO=2.4，AO=1.8，BO=3.2

①设∠CAF=α,∠EAD=β

AE=xcosβ,cos(α+β)=3/5

cosβ=cos(α+β-α)=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=3/5cosα+4/5sinα

∴AE=x(3/5cosα+4/5sinα)

又AC=AE/cosα=x(3/5+4/5tanα)=3

解得tanα=(15-3x)/(4x)

CF=ACtanα=3tanα

∴y=4-CF=4-3tanα=(25x-45)/(4x)

定义域：1.8＜x＜5，值域：0＜y＜4

②设∠BAF为a，∠CAB为b

∵AE⊥CE，CO⊥DO

∠ADE=∠CDO

∴△ADE∽△CDO

∠DAE=∠DCO

∴tana=(1.8-x)/2.4

tana=tan(a+b-b)=[tan(a+b)-tanb]/[1+tan(a+b)tanb]=3y/(25+4y)

(1.8-x)/2.4=3y/(25+4y)

y=(25x-45)/-4x

定义域：0＜x＜1.8

值域：没算到，比较难求，不过题目没有要求...

3）

①5/4=(25x-45)/4x,x=9/4,符合定义域

②5/4=(25x-45)/-4x,x=3/2,符合定义域

Answer 2

在RT△ABC中∠ACB=90°,AB=5,sin∠CAB=4/5,D是斜边AB上一点 过点A作AE⊥CD，垂足E，AE交直线BC与点F
1）当tan∠BCD=1/2时 求线段BF的长
解析：∵在⊿ABC，∠ACB=90°，AB=5，sin∠CAB=4/5
∴BC=4，AC=3
在⊿ACF和⊿CEF中
∵AE⊥CD，∠AFC=∠CFE
∴⊿ACF∽⊿CEF，FE/EC=CF/AC
又tan∠BCD=1/2
∴FE/EC=CF/AC=1/2==>CF=3/2
BF=BC-CF=4-3/2=5/2；

2）当点F在线段BC上是，设AD=x,BF=y，求y关于x的函数解析式，及定义域
解析：设∠CAF=α,∠EAD=β
AE=xcosβ,cos(α+β)=4/5
cosβ=cos(α+β-α)=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=3/5cosα+4/5sinα
∴AE=x(3/5cosα+4/5sinα)
又AC=AE/cosα=x(3/5+4/5tanα)=3
解得tanα=(15-3x)/(4x)
CF=ACtanα=3tanα
∴y=4-CF=4-3tanα=(25x-45)/(4x)
∴y=(25x-45)/(4x),其定义域为0<x<5
值域为0<y<4

3）当BF=5/4 ，求线段AD的长
解析：由2）知y=(25x-45)/(4x)
5/4=(25x-45)/(4x),解得x=9/4
∴AD=9/4

Answer 3

(1)在⊿abc,，∠ACB=90°，AB=5，sin∠CAB=4/5
∴BC=4，AC=3
在⊿ACF和⊿CEF中
∵AE⊥CD，∠AFC=∠CFE
∴⊿ACF∽⊿CEF，FE/EC=CF/AC
又tan∠BCD=1/2
∴FE/EC=CF/AC=1/2==>CF=3/2
BF=BC-CF=4-3/2=5/2
(2)设∠CAF=α,∠EAD=β
AE=xcosβ,cos(α+β)=4/5
cosβ=cos(α+β-α)=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=3/5cosα+4/5sinα
∴AE=x(3/5cosα+4/5sinα)
又AC=AE/cosα=x(3/5+4/5tanα)=3
解得tanα=(15-3x)/(4x)
CF=ACtanα=3tanα
∴y=4-CF=4-3tanα=(25x-45)/(4x)
∴y=(25x-45)/(4x),其定义域为0<x<5
值域为0<y<4

(3)由2）知y=(25x-45)/(4x)
5/4=(25x-45)/(4x),解得x=9/4
∴AD=9/4