Question

初中几何证明题

如图：已知∠ABD=∠ADB=15°，∠DBC=45°，∠BDC=30°，证明：△ABC是等边三角形.

Answer 1

一楼“实数集与函数”朋友的解答有误，四个方程实际上只有三个独立的方程，无法解出四个角
二楼“nancynhh ”朋友的解答方法很不错。只是目前大部分初中教材已经没有“四点共圆”，小有遗憾
下面提供一种计算线段长度的证明思路
证明思路：
作BE⊥DA，垂足为E，作CF⊥BD，垂足为F
不妨设BE＝1，根据条件，得AB＝AD＝2，AE＝√3
设BF＝X，则根据题意有CF＝X，DF＝√3*X，BC＝√2*X
在直角三角形BDE中由勾股定理得：
BE^2＋DE^2＝BD^2
所以有：(X＋√3*X)^2＝1^2＋(2＋√3)^2
解得：X＝√2
所以BC＝2，而AB＝2，∠ABC＝60度
所以：△ABC是等边三角形

供参考！JSWYC

Answer 2

最佳证明如下：
过B作BE使∠DBE=30°,交CD于E点，则
AE⊥BD, ∠AED=60°
∴ ∠AED=∠ABC=60°
∴ ABCE 四点共圆
∴∠AEB=∠ACB
∵∠AEB=60°
∴∠ACB=60°
三角形二内角都是60°，即∠ACB=∠ABC=60°∴∠BAC=60°
∴△ABC 为等边三角形 ，证毕。
上楼缪证，譬如，补一个独立方程：
不妨假设∠1≠∠3，
当∠1>∠3时, 则∠1=60°+δ ， ∠3=60°-δ，δ≥0，
并令AC,BD交点为M，即 过A作AP使∠BAP=60°，过C作CQ使∠BCQ=60°,
则二对内错角相等，∠PAM=δ=∠QCM,∠APM=75°=∠MQC
∴AP//CQ, AQ//CP
即APCQ 为平行四边形
∴AM=MC
∴在△ABC中△BAM面积=△BCM面积
∵BA×BMsin∠ABM=2△BAM面积, BC×BMsin∠CBM=2△BCM面积
∴BAsin∠ABM= BCsin∠CBM 由∠1>∠3，可得BC>BA，
∴∠ABM>∠CBM, 即由已知得出 15°>45°，显然不成立
∴∠1>∠3 不成立 。
同理，∠1<∠3 时 可推得 ∠ADM>∠CDM, 从而得15°>30°，显然也不成立。
因此 综上分析 可得 ∠1=∠3。

Answer 3

该题缺条件，结论不严密，如果∠BAC=45°，一样满足条件