Question

已知函数y=x+a/x有如下性质:如果常数a>0,那么该函数在(0,√a]上是减函数,在[√a,+∞)上是增函数.

写出f（x）=x+4/x，（x大于0）的增区间，并用定义证明.

Answer 1

解：
a=4>0 √a=√4=2
由题目给出的函数性质，得f(x)=x+4/x的增区间为[2,+∞)
证：
设定义域上x1,x2,且2≤x1<x2
f(x2)-f(x1)
=x2+4/x2-x1-4/x1
=(x2-x1)-4(x2-x1)/(x1x2)
=(x2-x1)[1-4/(x1x2)]
2≤x1<x2
x1x2>4
0<4/(x1x2)<1
x2>x1 x2-x1>0
(x2-x1)[1-4/(x1x2)]>0
f(x2)-f(x1)>0
f(x2)>f(x1)
函数f(x)在[2,+∞)上单调递增。