Question

已知函数 y=x+ a x 有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在 (0， a ] 上是减函数

已知函数 y=x+ a x 有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在 (0， a ] 上是减函数，在 [ a ，+∞) 上是增函数．（1）如果函数 y=x+ 3 m x (x＞0) 的值域是[6，+∞），求实数m的值；（2）求函数 f(x)= x 2 + a x 2 （a＞0）在x∈[1，2]上的最小值g（a）的表达式．

Answer 1

（1）由已知，函数 y=x+ 3 m x (x＞0) 在 (0， 3 m ] 上是减函数，在 [ 3 m ，+∞) 上是增函数， ∴ y min = 3 m + 3 m 3 m =2 3 m ，…（4分） ∴ 2 3 m =6 ，∴3 m =9， ∴m=2．…（6分） （2）令x 2 =t，∵x∈[1，2]， ∴ t∈[1，4]，f(t)=t+ a t ， 原题即求f（t）在[1，4]上的最小值．…（7分） 1°当 a ＞4 ，即a＞16时，f（t）在[1，4]上是减函数，此时 g(a)=f(4)=4+ a 4 ，…（9分） 2°当 1≤ a ≤2 ，即1≤a≤16时， g(a)=f( a )=2 a ， 3°当 a ＜1 ，即0＜a＜1时，f（t）在[1，4]上是增函数，此时g（a）=f（1）=1+a．…（13分） ∴g（a）= 1+a，0＜a＜1 2 a ，1≤a≤16 4+ a 4 ，a＞16