Question

若数列{xn}有界，limyn=0，证明limxnyn=0

Answer 1

证明：

∵数列{Xn}有界，因此：

∀ Xn∈{Xn}，∃ M>0，当 n>N1时（N1∈N），

∴|Xn|≤ M成立

又∵lim(n→∞) Yn = 0

∴∀ ε' >0，∃ N2∈N，当 n>N2时，必有：

|Yn- 0| < ε'成立

即：|Yn|< ε'

显然：

|Xn|·|Yn| < ε'M 成立，此时n=max{N1,N2}

令ε=ε'M，则：

∀ ε>0

|Xn|·|Yn| = |XnYn| < ε 恒成立

∴必有：

lim(n→∞) XnYn =0

简介

数列可以看作一个定义域为正整数集N*或其有限子集{1，2，3，…，n}的函数，其中的{1，2，3，…，n}不能省略。

用函数的观点认识数列是重要的思想方法，一般情况下函数有三种表示方法，数列也不例外，通常也有三种表示方法：a.列表法；b。图像法；c.解析法。其中解析法包括以通项公式给出数列和以递推公式给出数列。

函数不一定有解析式，同样数列也并非都有通项公式。

Answer 2

证数列{xn}有界
存在M。对一切n，有｜xn｜<=M
limyn=0
所以，任给E>0,存在N>0，当n>N时
｜yn|<E/M
从而｜xnyn|<E
即limxnyn=0