Question

f(x)是定义在[a,+∞)上的可微函数，f(a)=0，且对于任意x都有|f'(x)|＜|f(x)|，求证：f(x)=0.

RT

Answer 1

反证法。 如果存在f(x)不等于0，
不妨设
1. 0 < x - a < 1, 否则 增大a, 或者缩小x.
2. f(x) = max{|f(t)| | a<= t <= x}. 否则 在（a, x）中另选x, 使得|f(x)| 为|f|在（a, x）中的最大值。
3. f(x) > 0, 否则考虑 -f(x).

在此前提下，

|f(x)| = |f(x)-f(a)|
= |f'(y)*(x-a)| .... a < y < x
< |f'(y)| ... 因为 x-a < 1
< |f(y)|
<= f(x)
矛盾！