Question

AB是⊙O的直径,BC⊥AB于B,连接OC交圆O于点E,弦AD‖OC,弦DF⊥AB于G

求证，1.点E是弧BD中点；2.CD是圆O切线

Answer 1

连接OD
因为AD//OE
所以<COB=<A <ADO=<DOC
又因为OA=OD
所以<A=<ADO
推出：<COB=<DOC 进一步推出OC为<BOD角平分线，进一步推出OC平分弧BD，即点E是弧BD中点。

OD为直径，AB为直径。推出OD=OB
OC=OC
进一步推出 三角形DOC全等三角形COB

推出<ODC=90°

推出 CD垂直OD 即CD是圆O切线 。

Answer 2

(1)∵AB为直径，∴∠ADB＝90
∴AD⊥BD
∵AD‖OC
∴OC⊥BD
又∵OD＝OB
∴OC为等腰△ODB的BD边垂直平分线
∴∠COB=∠COD
∴E 为弧DB的中点
(2)（2）解：在△ADG中，sinA=4/5=DG/AD，
设DG=4x，AD=5x，
∵DF⊥AB，
∴AG=3x，
又⊙O的半径为5/2，
∴OG=5/2-3x，
∵OD2=DG2+OG2，
∴（5/2）2=（4x）2+（5/2-3x）2，
∴x=3/5，
∴DG=4x=125，
∴DF=2DG=2×125=245