Question

设对任意n属于正整数，有|x2-x1|+|x3-x2|+...+|xn-x(n-1)|<C,其中C为常数，证明｛xn}收敛

Answer 1

令yn=|x2-x1|+|x3-x2|+...+|x(n)-x(n-1)|,则yn单增有上界，故{yn}收敛.
∴对任意ε>0，存在正整数N使得当n>N时，|y(n+p)-yn|=|x(n+p)-x(n+p-1)|+...+|x(n+1)-xn|<ε,(p=1,2,...),
∴|x(n+p)-xn|<=|x(n+p)-x(n+p-1)|+...+|x(n+1)-xn|<ε,(p=1,2,...),
由Cauchy收敛准则可知{xn}收敛.

Answer 2

利用绝对值不等式的放缩可得|xn-x1|<c,所以x1-c<xn<x1+c,所以xn有界，再分类，xn为常数列必收敛，xn若单调，根据单调有界准则，不论单增单减，都会收敛

Answer 3

用绝对值不等式放缩再加上柯西收敛准则