Question

高一指数函数

f（x）=（x²+2x+a）/x。x属于【1，正无穷)
(1)当a=二分之一时，求函数f（x）的最小值
（2）若对任意x属于【1，正无穷），f（x）大于0恒成立，试求实数a的取值范围

Answer 1

解：

f(x)=(x²+2x+a)/x，x∈[1,+∞)

(1)当a=1/2时，

f(x)=x+[(1/2)/x]+2

x的范围符合均值不等式要求

∴x+[(1/2)/x]≥2√(x)√[(1/2)/x]=√2

当且仅当x=(1/2)/x，即x=√2/2时取得等号

在x≥1的范围内，f(x)是单调递增的

（关于此对勾函数的性质，详细请参考解答最后的链接）

∴f(x)min=f(1)=7/2

(2)若对任意x∈[1,+∞)，f(x)＞0恒成立，则

f(x)=x+(a/x)+2＞0恒成立，

由于x＞0，即x²+2x+a＞0恒成立

∴x²+2x+a=0的判别式满足:

△=4-4a＜0

∴a＞1