Question

已知定义在R上的函数F（X)对任意实数X，Y，恒有F(X)+F(Y)=F(X+Y) 且当X大于0时，F(X)小于0，又F(1）=-2/3

（1）求证F(X)为奇函数
（2）求证F（X）在R上是减函数
（3）求F(X)在【-3，6】上的最大值与最小值。

Answer 1

(1)令x=y=0得f(0)=0
令y=-x得f(x)+f(-x)=f(0)=0
∴f(x)是奇函数
(2)任取x1＞x2
则x1-x2＞0,∴f(x1-x2)＜0
f(x1)=f(x1-x2+x2)=f(x1-x2)+f(x2)
∴f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)＜0
又x1＞x2
∴f(x)在R上是减函数
（3）∵f(x)是减函数
∴最大值为f(-3),最小值为f(6)
f(2)=f(1)+f(1)=-4/3
f(3)=f(1)+f(2)=-2
f(-3)=-f（3）=2
f(6)=f(3)+f(3)=-4
∴f(X)在【-3，6】上的最大值为2，最小值为-4