Question

已知定义R在上的函数f(x)对任意实数x.y恒有f(x)+f(y)=f(x+y)且当x>0时，又f(x)<0,f(1)=-2/3，求证f(x)...

已知定义R在上的函数f(x)对任意实数x.y恒有f(x)+f(y)=f(x+y)且当x>0时，又f(x)<0,f(1)=-2/3，求证f(x)为奇函数；在R上为减函数
求f(x)在[-3,6]上的最大值与最小值

Answer 1

一，求证奇函数：令x=y=0,得f(0)+f(0)=f(0)，得f(0)=0；再令x+y=0,得f(x)+f(-x)=f(0)=0,所以有f(-x)=-f(x)，奇函数。
二，证减函数：令y=1得f(x)+f(1)=f(x+1),移项有f(x+1)-f(x)=f(1)<0,即f(x+1)<f(x)

Answer 2

令y=0，得f(x)+f(0)=f(x)，所以f(0)=0；
令y=-x，得：f(x)+f(-x)=0
奇函数得证；
x1<x2，x2-x1>0，则f(x2-x1)<0
f(x2)=f(x2-x1)+f(x1)
f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)<0
即x1<x2时，f(x1)>f(x2)
减函数得证；

Answer 3

f(2x)=f(x+x)=2f(x),f(2x-x)=f(x)=f(2x)+f(-x)=2f(x)+f(-x).所以f(-x)=-f(x)
任取a<b
f(a)-f(b)=f(a)-f(b-a+a)=f(a)-[f(b-a)+f(a)]=-f(b-a)，所以-f(b-a)>0
即f(a)-f(b)>0,减函数