Question

高二数学椭圆问题

20．（16分）已知椭圆 x平方/a平方+y平方/b平方=1（a>b>0)的离心率为e=根号3/2 ，过A（a，0），
B（0,－b），两点的直线到原点的距离是 4倍根号5除以5．
已知直线y＝kx＋1（k 0）交椭圆于不同的两点E、F，且E、F都在以B为圆心的圆上，求k的值
1楼的答案不太对。。。表达式就不对啊。。。a=4，b=2

Answer 1

由题意 e^2=c^2/a^2=(a^2-b^2)/a^2=3/4
2ab/√(a^2+b^2)=4√5/5 联立解得 a^2=4, b^2=1
所以椭圆的方程为 x^2/4+y^2=1
所以直线过椭圆的上顶点（0，1）不妨设为E
将直线方程带入椭圆整理得到 x^2/4+k^2x^2+2kx=0
所以 x1=0 x2=-8k/(4k+1)
则F（-8k/(4k+1),1-8k^2/(4k+1))
因为E、F都在以B为圆心的圆上。所以 BE=BF
设EF的中点为M，则M的坐标为M（-4k/(4k+1), -4k^2/(4k+1))
所以BM⊥EF
所以 kBM*kEF=-1
即 2k^2-4k+1=0 解得 k=1±√2/2