Question

如图,已知在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,过点C作∠ECF=45°，两边分别交线段AB于点E,F，求证EF²=AE&sup

如图,已知在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,过点C作∠ECF=45°，两边分别交线段AB于点E,F，求证EF²=AE²+BF²

Answer 1

设∠ACE=α，∠BCF=β，则α+β=45,α+β+45=90,2(α+β)=90
⊿ACE中用正弦定理有 AE/sinα=CE/sin45
所以CE=AEsin45/sinα
⊿CEF中用正弦定理有：EF/sin45=CE/sin(45+β)=CE/cosα
所以 EF=sin45* AEsin45/sinαcosα=AE/sin2α
所以 AE=EF*sin2α
同理BF=EF*sin2β
所以AE²+BF² =EF²（sin²2α+sin²2β）=EF²得证