Question

如图，P为三角形ABC的边BC的垂直平分线上的一点，且角PBC=二分之一角A.BP、CP的延长线分别交AC、AB于D、E.

求证：BE=CD
重难点手册八年级数学的P88第17题

Answer 1

由题意可知 角PBC=角PCB=1/2角A BP=PC
角A+角EPD(=角BPC)=180度
A、E、p、D四点共圆 角EAP=角EDP
在三角形ABP、DBE中 角ABP=角DBE 所以二三角形相似
BE/BP=ED/AP
同理CD/PC=ED/AP
BE=CD

Answer 2

PG垂直平分BC，
所以PB=PC，∠PBC=∠PCB=∠A/2
所以∠DPC=2∠PBC=∠A
又因为∠DCP=∠ECA
所以，∠AEC=180°-∠A-∠ECA=180°-∠DPC-∠DCP=∠PDC
所以△CEA∽△CDP
同理△BDA∽△BEP
因为，∠PBC=∠PCB
∠PGB=∠PGC=90°
所以，∠BPG=∠CPG
所以，∠QPR=∠BPG=∠CPG=∠QPE
又因为QP=QP，∠PQE=PQR
所以△QEP≌△QRP
所以∠AEC=∠QEP=∠QRP=∠DRC
又因为△CEA∽△CDP
所以∠AEC=∠CDP
所以∠CDP=∠DRC
所以CR=CD
因为BE=CR
所以BE=CD