Question

数学归纳法证明题，求助！

详细题目：见图片。 （这道题说白了，其实就是要证明四进制存在的合理性，但完全不知道从哪下手……在此请各位高手帮忙，谢谢了！）

Answer 1

先声明一点，题里的的符号写的有些问题了，楼主说的很对，就是证明四进制存在的合理性，不单单是四进制，n进制都是可以存在的（n是>=2的正整数）
先把题目稍作改动如下

证明任何正整数都可以写成多个nj×4^i单项式的和的形式，其中
nj∈{0,1,2,3}，这个j和i没有关系，只是表示nj只能取0,1,2,3这四个数而已，而那个i说的是4的幂次，应该从0起直到加到那个数，每项都存在

证明如下

取m=1时
m=1×4^0，此时nj=0，i=0；

假设m=x时，也可以写作
m=∑nj×4^i （求和，i从0到k），

每一项4的i次幂的系数nj和i的值无关，但是都只能取{0,1,2,3}其中的一个，k是正整数，它的大小取决于m的大小，具体数值不影响证明结论

当m=x+1时
m=∑nj×4^i+1=∑nj×4^i +1×4^0

依然是多个nj×4^i单项式的和的形式，所以结论成立