Question

已知x大于0，y大于0,且x+2y+xy=30,求xy的最大值

Answer 1

30-xy=x+2y
因为x>0,y>0
则30-xy=x+2y>=2√(x*2y)=2√2*√(xy)
xy+2√2*√(xy)-30<=0
令a=√(xy)>0
a²+2√2a-30<=0
-√2-4√2<=a<=-√2+4√2
即-5√2<=a<=3√2
所以0<√(xy)<=3√2
xy<=18
最大值=18

Answer 2

x+2y>=2根号(2xy),当x=2y时取等号
所以有30=x+2y+xy>=2根号(2xy)+xy
换元，令t=根号(xy)>=0,则xy=t²
t²+2(根号2)t-30<=0
(t+5根号2)(t-3根号2)<=0
解得,-5根号2<=t<=3根号2
t²<=18，即xy的最大值是18
此时，xy=2y²=18,y=3,x=6

Answer 3

X+2y≥2√x*2y (根据a的平方+b的平方≥2ab，把√x看成a，√2y看成b，这里x、y均大于0)
然后x+2y+xy≥2√2xy + xy，即30≥2√2xy + xy
设m=√xy ，变成30≥2√2m + m2的平方，然后解方程，基本的一元二次方程。会吧？
你把它看成一个等式解出，根据抛物线的特性开头向上，小于取中间。
得-5√2≤m≤3√2，m>0，所以m最大为3√2，xy最大即平方，为18。