Question

求当x趋向于0时，函数（1-三次根号(1-x+x²））/x的极限

要快，答案是1/3

Answer 1

解：在（1-三次根号(1-x+x²））/x 的分子分母

同时乘以 ：1+三次根号(1-x+x²）+三次根号(1-x+x²）^2

分子用立方差公式后，可与分母约去x, 化简得：

(1-x）/(1+三次根号(1-x+x²）+三次根号(1-x+x²）^2 )

此时分子分母的极限都存在， 由除法极限法则即可求出

函数（1-三次根号(1-x+x²））/x的极限是 1/3

Answer 2

分子分母同乘：[ 1+(1-x+x²)^(1/3)+(1-x+x²)^(2/3) ] 有理化：

lim(x->0) [1-(1-x+x²)^(1/3)] /x

=lim(x->0) [1-(1-x+x²)] /{ x *[ 1+(1-x+x²)^(1/3)+(1-x+x²)^(2/3) ] }

=lim(x->0) [ x-x² ] /{ x *[ 1+(1-x+x²)^(1/3)+(1-x+x²)^(2/3) ] }

=lim(x->0) [ 1- x ] /[ 1+(1-x+x²)^(1/3)+(1-x+x²)^(2/3) ]

= 1/[1+1+1]

= 1/3