Question

已知函数f(x)=4-x^2,求f（x^2-2x-3）的单调区间

Answer 1

解：
f(x)=4-x^2在(-∞,0]上单调递增，在(0,+∞)单调递减

令g(x)=x^2-2x-3

g(x)>0时x^2-2x-3>0即(x+1)(x-3)>0解得x>3或x<-1

g(x)<0时有-1<x<3

又g(x)在(-∞,1]单调递减，在（1，+∞）单调递增

则f（x^2-2x-3）在(-1,1]U(3, +∞）上单调递增

在(-∞,-1)U(1,3)上单调递减

复合函数同增同减为增函数，一增一减为减函数

Answer 2

f(u)=4-u^2
递增区间（负无穷，0）递减区间（0，正无穷）
g(x)=(x-1)^2-4=(x-3)(x+1)
(负无穷，-1)时g(x)>0则f(x)递减而g(x)是递减，所以复合后递增；
(-1,0)时g(x)<0则f(x)递增而g(x)是递减，所以复合后递减；
（0，1）时g(x)<0则f(x)递增而g(x)是递减，所以复合后递减；
（1，3）时g(x)<0则f(x)递增而g(x)是递增，所以复合后递增；
（3，正无穷）时g(x)>0则f(x)递减而g(x)是递增，所以复合后递减；

Answer 3

f(x)＝4-x^2
在(-∞,0)上递增；在(0,+∞)上递减；

f(x^2-2x-3)中，令t=x^2-2x-3>0,则：x>3或x<-1
即：在x>3或x<-1时，t>0,f(t)递减；
故-1<x<3时，t<0,f(t)递增。

综上：x∈(-∞,-1)∪(3,+∞)，f(x^2-2x-3)递减；
x∈(-1,3）f(x^2-2x-3)递增。