Question

对数函数比较大小

比较下面3个数的大小（1＜a＜2）
麻烦给个过程

Answer 1

解：log(a)(2)=lg2/lga,
2log(2a)(2)=2lg2/lg(2a)
=2lg2/(lg2+lga).
因为 1<a<2,
所以 0<lga<lg2.
所以 log(a)(2)>lga/lga=1.
2lga<lg2+lga<2lg2.
所以 2log(2a)(2)>2lg2/(2lg2)
=1.
2log(2a)(2)<2lg2/(2lga)
=lg2/lga
=log(a)(2).
综上,1<2log(2a)(2)<log(a)(2).

= = = = = = = = =
(1)不同底数的对数函数比较，可先考虑换底公式。
(2)利用对数的单调性，以及不等式的放缩法。
(3)不等式的作差法也可以，正如楼上的做法。

Answer 2

因为1<a<2,
所以2log(2a)2-1=log(2a)4- log(2a)(2a)=log(2a)[4/(2a)]
=log(2a)(2/a)>log(2a)1=0.
2log(2a)2-log(a)2=2lg2/lg(2a)-lg2/lga
=lg2(2/lg(2a)-1/lga)
=lg2•(2lga-lg(2a))/[lg(2a)•lga]
= lg2•(lga²-lg(2a))/[lg(2a)•lga]
= lg2•(lg(a²/2a))/[lg(2a)•lga]
= lg2•(lg(a/2))/[lg(2a)•lga]
而lg2>0,lg(a/2)<0,lg(2a)>0,lga>0,
所以lg2•(lg(a/2))/[lg(2a)•lga]<0,
∴2log(2a)2-log(a)2<0，
综上知1<2log(2a)2 <log(a)2.

Answer 3

用对数函数性质比较大小