Question

已知函数f(x)=x^2+1/x^2,判断f(x)在区间0到正无穷的单调性

Answer 1

f(x)的导数f'(x)=2x-2/x^3=2(x^2+1)(x+1)(x-1)/x^3。
当0<=x<1时，x^2+1>0，x+1>0，x-1<0，x^3>0，所以f'(x)<0,
所以此时f(x)单调递减
当x>=1时，x^2+1>0，x+1>0，x-1>0，x^3>0，所以f'(x)>0,
所以此时f(x)单调递减
综上，当0<=x<1时，f(x)单调递减
当x>=1时，f(x)单调递减

Answer 2

设x1＞x2＞0

f(x1)-f(x2)=（x1²-x2²）（1-1/x1²x2²）

所以，当1＞x1＞x2＞0时，上式小于0，为单调递减的

x1＞x2＞1时，上式大于0，为单调递增的

Answer 3

f=t+1/t,t=x^2,
x>0,t增，f增，同增异减，所以原函数递增

Answer 4

0到1为递减，1到正无穷为递增。
此题先对f（x）求一阶导数，令其为0，可得到在0到正无穷之间有一个极值点x=1，且x在0到1之间，一阶导数小于0,x在1到正无穷，一阶导数大于0，所以得到上述结果。