Question

高中数学题 求取值范围

2ax^2-4x+4a≥0时 在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围。

如果要用二次方程的方法求解那要讨论a的很多种情况
所以用分式分离就是a≥4x/（2x^2+4）
然后呢？该怎么做？或者有什么更好的方法吗？
我数学基础比较弱，麻烦各位说仔细些好吗？谢谢了~

Answer 1

a≥4x/(2x^2+4) 要恒成立，那么意味着a要大于等于4x/(2x^2+4)的最大值！

下面求解4x/(2x^2+4)的最大值：

因为x>0,所以分子分母同除以x，即得右式
4x/(2x^2+4)=4/(2x+(4/x)) （1）

对（1）式右边的分母2x+(4/x)用基本不等式，因为x>0，所以2x>0，4/x>0。
2x+(4/x)≥2√(2x*(4/x))=4√2 （2）

（2）式当2x=(4/x）时取等，即x=√2 时取等。 （注：“√”表示根号）
也就是说：当x=√2 时，分母2x+(4/x)存在最小值4√2；

也就是说：当x=√2 时，4/(2x+(4/x))存在最大值1/√2，即当x=√2 时，4x/(2x^2+4)存在最大值1/√2！

所以若要a≥4x/(2x^2+4) 恒成立，那么意味着a要大于等于4x/(2x^2+4)的最大值1/√2，

即a≥1/√2。

Answer 2

如图

Answer 3

a≥4x/（2x^2+4）即只要求出4x/（2x^2+4）的最大值就可以，4x/（2x^2+4）因为x是大于0的，所以化简可以得到4x/（2x^2+4）变为2/(x+2/x)这个式子，分母（x+2/x）≥2√2,于是整个2/(x+2/x)会小于等于1/√2，所以a大于等于1/√2
不知道对不对。。楼主自己看下行不行

Answer 4

前提是a不等于0
应该化为：x² - 2/a x +2 ≥ 0 ，
可再化为 x² - 2/a x + 1/a² - 1/a² + 2 ≥ 0 ,
即（x- 1/a）²- 1/a² + 2 ≥ 0
（x- 1/a）²是必然大于等于零的，所以现在只要算- 1/a² + 2 ≥ 0就可以了

Answer 5

对于这种问题，要先将a的范围砍小，首先a《0是不可能的，所以就要考虑a>0的情况
可以用二次函数的图像去考虑
算△=16-32a^2<0
可以算出a>√2/2