Question

线性代数 特征值

第一问 我不知道怎么利用特征值和一个特征向量反求原矩阵的 手头也没这种例题的书 希望告之方法 谢谢

Answer 1

解：首先它是实对称矩阵，那么它的不同特征值所对应的特征向量是互相正交的，且它可以对角化。
于是设特征值1所对应的特征向量为（x1,x2,x3）T，那么它与（1,1,-1）T正交，于是有：x1+x2-x3=0，解出特征值1（二重）所对应的特征向量为p1=（1,0,1）T与（0,1,1）T。
由此得到矩阵P=（p1,p2,p3），使得P（-1）AP=B，其中B为由A的特征值所构成的对角阵。得出：A=PBP（-1），其中：
1 0 1 2 -1 1 1
P= 0 1 1 P（-1）=（1/3） -1 2 1 B= 1 解得：
1 1 -1 1 1 -1 -2

0 -1 1
A= -1 0 1 。
1 1 0
2
第二问可由A相似对角阵B做出，结果应为 3 。
（-1）/2^10

解这一类的题要对矩阵与其特征值、特征向量、相似对角阵的定义、性质及相互关联比较熟悉，而这道题里的实对称矩阵是一类特殊的类型，它能够相似对角化且不同的特征值对应的特征向量相互正交。
你可以在书店里买一些有关线代的讲义来看，比如考研的线代讲义，网上应该也能够找到。