Question

8年级数学几何题(对了悬赏100)

已知：如图，D是BC上一点，P是AD上一点，∠ABP=∠ACP，∠BPD=∠CPD.求证(1)BD=CD.(2) AD⊥BC

谢谢各位了.虽然答案有点长.对了每一步的理由也要写的
对了悬赏100

Answer 1

证明：∠BPD是三角形APB的外角
所以 ∠BPD=∠BAP+∠ABP
∠CPD是三角形APC的外角
所以 ∠CPD=∠CAP+∠ACP
∠ABP=∠ACP
∠BPD=∠CPD
所以 ∠BAP=∠CAP
AP是公共边
∠ABP=∠ACP
所以三角形ABP全等于三角形ACP（ASA)
所以AB=AC
所以 BD=CD AD⊥BC(等腰三角形底边上的高，底边上的中线，顶角的角平分线重合）

Answer 2

(1)
∠ABP=∠ACP，
∠BPD=∠CPD,
∠ABP+∠BAP=∠ACP+∠CAP，
所以∠BAP=∠CAP，
AP=AP,
∠BPA=180°-∠BPD=180°-∠CPD=∠CPA，
所以△APB≌△APC,[ASA]
BP=CP,
∠PBD=∠PCD,
∠BPD=∠CPD,
所以△DPB≌△DPC,[ASA]
BD=DC;
∠BDP=∠CDP;

(2)
∠BDP+∠CDP=180°,
∠BDP+∠BDP=180°,[∠BDP=∠CDP]
∠BDP=180°/2=90°=∠CDP,
AD⊥BC

Answer 3

证明：
∵∠ABP=∠ACP，∠BPD=∠CPD，公共边AD

∴△ABP全等△ACP

∴∠BAD=∠CAD,AB=AC

∴BC⊥AD

∵∠BAD=∠CAD,AB=AC,AD公共边

∴△ABD全等△APD

∴BD=CD

Answer 4

证明：
∵∠BPD=∠CPD
∴∠APB=∠APC
∵∠ABP=∠ACP，AP=AP
∴△ABP≌△ACP（ASA）
∴PB=PD
∵∠BPD=∠CPD
∴BD=CD， AD⊥BC

Answer 5

1.证明：因为角BPD=角CPD，根据邻补角的性质，可得180度-角BPD=180度-角CPD，由此得知角BPA=角CPA。因为在三角形ABP与三角形ACP中：角ABP=角ACP，角BPA=角CPA，AP=AP（公共边）。由以上条件，利用AAS，可知三角形ABP全等于三角形ACP。由三角形ABP全等于三角形ACP，利用全等三角形的对应边相等，可知BP=PC。因为在三角形BPD与三角形CPD中：BP=PC（已证），角BPD=角CPD，PD=PD（公共边）。由以上条件可以得出：三角形BPD全等于三角形CPD。因为三角形BPD全等于三角形CPD，利用全等三角形的对应边相等，可得BD=CD

2.证明：因为三角形BPD全等于三角形CPD（已证），所以角PDB=角PDC。因为角PDB=角PDC，且角PDB与角PDC互为邻补角，所以角PDB+角PDC=180度，利用等量代换，可得2角PDB=180度，所以角PDB=90度，即AD垂直BC

我可能写得有点复杂，但比较容易理解。

Answer 6

证明：∵∠BPD=∠CPD∴∠APB=∠APC
在△APB和△APC中
∠ABP=∠ACP
∠APB=∠APC
AP=AP（AAS）
∴△APB≡△APC
∴AB=AC,∠BAP=∠PAC
在△BAD和△CAD中
AB=AC
∠BAD=∠CAD
AD=AD
∴△BAD≡△CAD
∴BD=CD
（2）证明由（1）知△ABC为等腰三角形
∵AD平分∠BAC
∴AD⊥BC（三线合一）