Question

设数列{an}的前n项和为sn,若对于任意的正整数n都有sn=2an-3n。 (1)设bn=an+3,证明:数列｛bn｝是等比数列

(2）求数列｛n倍an｝的前n项和
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Answer 1

(1)
Sn=2an-3n
n=1时，S1=a1,故有：a1=2a1-3,a1=3
n>=2时，
an=Sn-S(n-1)＝2an-3n-[2a(n-1)-3(n-1)]＝2an-2a(n-1)-3
即：an＝2a(n-1)+3
两边+3
an+3＝2[a(n-1)+3]
而bn=an+3,代入：
bn=2b(n-1)
所以数列{bn}是等比数列，q=2,首项为b1=a1+3＝6
bn=6*2^(n-1)=3*2^n

an=bn-3=3*2^n-3

(2)设Cn=nan=3n*2^n-3n,为两项和
前n项和为Tn
Tn＝3*[1*2^1+2*2^2+3*2^3+……+n*2^n]-[3+6+9+……+3n]
2Tn＝3*[1*2^2+2*2^3+3*2^4+……+(n-1)*2^n+n*2^(n+1)]-2[3+6+9+……+3n]
上式减去下式：
-Tn＝3*[1*2^1+2^2+2^3+2^4+……+2^n-n*2^(n+1)]+[3+6+9+……+3n]
＝3*2(2^n-1)/(2-1)-3n*2^(n+1)+n(3+3n)/2
＝(3-3n)*2^(n+1)+3n(n+1)/2-6

故：Tn＝(3n-3)*2^(n+1)-3n(n+1)/2+6

注：求这类n项和，都是用Tn减去qTn，错位相消法。

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