Question

已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象开口向上,经过(0,-1)和(3,5)

已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象开口向上,经过(0,-1)和(3,5)两点
且顶点到x轴的距离等于3，求这个函数表达式

Answer 1

把两点代入
-1=0+0+c
5=9a+3b+c
c=-1
9a+3b=6
b=-3a+2
y=ax²+(-3a+2)x-1
=a[x+(-3a+2)/2a]²-(-3a+2)²/4a-1
则顶点纵坐标是-(-3a+2)²/4a-1
顶点到x轴的距离等于3
即-(-3a+2)²/4a-1=±3

开口向上，且x=0是 y-1<0
所以最小值是负数
所以-(-3a+2)²/4a-1=-3
(-3a+2)²-8a=0
9a²-20a+4=0
(9a-2)(a-2)=0
a=2/9,a=2

所以y=2x²/9+4x/3-1或y=2x²-4x-1

Answer 2

两点带入，顶点到x距离为3，开口为上，且与x有一个交点，则顶点y=-3，顶点式带入，得到三个方程，求解即可

Answer 3

解：y=ax²+bx+c.易知，a＞0.c=-1.9a+3b-1=5.且(-4a-b²)/(4a)=-3.解得：a=2,b=-4,或a=2/9,b=4/3.∴y=2x²-4x-1.或y=(2/9)x²+(4/3)x-1.