Question

已知在△ABC中AB=AC,D为BC边的中点过点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F若∠A=90°求证四边形DFAE是正方形

Answer 1

证明：四边形DFAE中DE⊥AB，∴∠AED=90；DF⊥AC，∴∠AFD=90；又∠A=90
所以四边形为矩形
AB=AC，∴∠B=∠C
在△BED和△CFD中，BD=CD，∠B=∠C，∠DEB=∠DFC=90
∴△DEB≌△DFC。DE=DF
四边形DFAE是邻边相等的矩形，因此是正方形

Answer 2

证明：

AB=AC

∴△ABC是等腰三角形

AD是底边的高

∴AD也是∠BAC的平分线

∴∠DAE=∠DAF

又∵∠DEA=∠DFA，AD=AD

∴△ADE≌△ADF

∴DE=DF，∠DEA=∠DFA=90°，

∵∠EAF=90°

∴四边形AEDF是矩形，DE=DF

∴矩形AEDF是正方形

得证

Answer 3

证明：∵AB=AC，∴△ABC为等腰三角形.∵DE⊥AB,DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°.∵∠BED+∠AED=∠CFD+∠AFD=180°，∴∠AED=∠AFD=90°.又∵D为BC边的中点，∴BD=CD.∴△BED全等于△CFD.∴ED=FD.∵∠A=90°，∴四边形DFAE为矩形,又∵ED=FD，∴四边形DFAE是正方形.