Question

已知t为常数,函数f(x)=|x^3-3x-t+1|在区间【-2,1】上的最大值为2,则实数t=

Answer 1

观察函数g(x)=x^3-3x
g'(x)=3x^2-3，表明g(x)在[-2,-1]递增，在[-1,1]递减
g(-2)=-2，g(1)=-2，最大值g(-1)=2
容易画出g(x)图像，是个奇函数
h(x)=x^3-3x-t+1就是g(x)上下平移的结果
f(x)就是h(x)负的部分翻到x轴上面
考察h(x)
1.h(0)>=0，则h(x)最大值的绝对值大于h(x)最小值的绝对值
因此h(0)=-t+1>=0，f(x)最大值在x=-1处取得，与h(x)最大值相等
h(-1)=-t+3=2，t=1
2.h(0)<=0，则h(x)最大值的绝对值小于h(x)最小值的绝对值
因此h(0)=-t+1<=0，f(x)最大值在x=-2或者x=1处取得，与h(x)最小值的相反数相等
h(1)=-t-1=-2，t=1

综上所述t=1