Question

已知函数f(x)=a^x-1/a^x+1(a>1),①求值域②证明,f(X)在R上为增函数

谢谢谢谢我在线等，，

Answer 1

直接开始：
令a^x=t ，根据a>1有（t>0）且x与t是同步的（就是x单调增，t也随着单调增）
则
f(t)=t-1/t+1
f'(t)=1+1/t^2（t>0）
那么f'（t）>1 就说明f(t)=t-1/t+1是增函数。
就证明了②
又f(t)=t-1/t+1是增函数
那么此函数就有最小值f(t)>f(0)=负无穷
那么值域为R

Answer 2

解 (1)求f(x)的值域.
因为0<a^x<+∞,所以
f(x)=(a^x-1)/(a^x+1)=1-2/(a^x+1)>1-2/(0+1)=-1,
f(x)=(a^x-1)/(a^x+1)=1-2/(a^x+1)<1,
因此,f(x)的值域为(-1,1).

讨论f(x)的单调性.
(i)当a>1时
设x1,x2是(0,+∞)内的任意两点,且x1<x2,则a^x1<a^x2,于是
f(x1)-f(x2)=(1-a^x1)/(1+a^x1)-(1-a^x2)/(1+a^x2)
=[(1-a^x1)(1+a^x2)-(1-a^x2)(1+a^x1)]/[(1+a^x1)(1+a^x2)]
=2(a^x2-a^x1)/[(1+a^x1)(1+a^x2)]>0,
所以,f(x)在(0,+∞)内单调递减.
由(2)知,f(x)是奇函数,所以f(x)在(-∞,0)内也单调递减.
因此,当a>1时,f(x)在(-∞,+∞)内单调递减.
(ii)当0<a<1时
设x1,x2是(0,+∞)内的任意两点,且x1<x2,则a^x1>a^x2,于是
f(x1)-f(x2)=(1-a^x1)/(1+a^x1)-(1-a^x2)/(1+a^x2)
=[(1-a^x1)(1+a^x2)-(1-a^x2)(1+a^x1)]/[(1+a^x1)(1+a^x2)]
=2(a^x2-a^x1)/[(1+a^x1)(1+a^x2)]<0,
所以,f(x)在(0,+∞)内单调递增.
由(2)知,f(x)是奇函数,所以f(x)在(-∞,0)内也单调递增.
因此,当0<a<1时,f(x)在(-∞,+∞)内单调递增.
综上所述,当0<a<1时,f(x)在(-∞,+∞)内单调递增,当a>1时,f(x)在(-∞,+∞)内单调递减.