Question

已知0<x<1,a>b>0,求证；（1),a/x+b/(1-x)>=（根号a+根号b）^2 (2)a^2+16/b(a-b)>=16

Answer 1

已知0<x<1,a>b>0,求证；（1),a/x+b/(1-x)>=（√a+√b）^2

1>1-x>0

0<x<1
0<x(1-x)<1,ab>0

(x+1-x)(a^/x+b^/(1-x))
=a^2+b^2+b^2*x/(1-x)+a^2*(1-x)/x
>=a^2+b^2+2ab
=(a+b)^2

(a+b)^2>=（√a+√b）^2 （ a>√a,b>√b, a+b>√a+√b )

所以 a/x+b/(1-x)>=（√a+√b）^2

(2)a^2+16/b(a-b)>=16

∵a>b>0
∴a-b>0
∴b(a-b)≤[(b+a-b)/2]²=a²/4
当且仅当b=a-b，即a=2b时等号成立
则1/b(a-b)≥4/a²
16/b(a-b)≥64/a²
那么a²+16/b(a-b)
≥a²+64/a²
≥2√(a²×64/a²)
=2√64
=16
当且仅当a²=64/a²，即a=2√2时等号成立
∴当a=2√2，b=√2时
a²+16/b(a-b)有最小值16