Question

在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，点D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，过点B作BF‖AC交DE的延长线于点F

1.求证AD⊥CF
2.连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由

Answer 1

解：
1）
∠ACB=90°，BF‖AC
∠CBF=90=∠ACB
AC=BC
∠CAB=∠ABC=45=∠EBF
DE⊥AB
所以，三角形BEF是等腰三角形，BD=BF=CD
所以，三角形ACD与三角形CBF是全等三角形
∠CAD=∠BCF
∠CAD+∠ADC=90=∠BCF+∠ADC
所以，AD⊥CF
2）
过F点作AC的垂线交于G点
BF‖AC，∠ACB=90°
所以，CDDF是矩形
CG=BF=AC/2，FG⊥AC
CG=AG
所以，三角形ACF是等腰三角形
CF=AF

Answer 2

（1）证明：在等腰直角三角形ABC中，
∵∠ACB=90°，
∴∠CBA=∠CAB=45°．
又∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°．
∴∠BDE=45°．
又∵BF∥AC，
∴∠CBF=90°．
∴∠BFD=45°=∠BDE．
∴BF=DB．（2分）
又∵D为BC的中点，
∴CD=DB．
即BF=CD．
在△CBF和△ACD中，

BF=CD
∠CBF=∠ACD=90°
CB=AC

，
∴△CBF≌△ACD（SAS）．
∴∠BCF=∠CAD．（4分）
又∵∠BCF+∠GCA=90°，
∴∠CAD+∠GCA=90°．
即AD⊥CF．（6分）

（2）△ACF是等腰三角形，理由为：
连接AF，如图所示，
由（1）知：CF=AD，△DBF是等腰直角三角形，且BE是∠DBF的平分线，
∴BE垂直平分DF，
∴AF=AD，（8分）
∴CF=AF，
∴△ACF是等腰三角形．（10分）