Question

如图1 已知在圆O中，点C为劣弧AB的中点，连接AC并延长至D，使CD=CA，连接DB并延长交圆O

如图1 已知在圆O中，点C为劣弧AB的中点，连接AC并延长至D，使CD=CA，连接DB并延长交圆O于点E，连接AE
（1）求证，AE是圆O的直径
（2）如图2，连接EC若圆O半径为5，AC为4，求阴影部分面积之和
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Answer 1

解：（1）连结EC
∵点C是劣弧AB上的中点
∴弧BC=弧CA
∴∠BEC=∠CEA
又∵AC=CD
∴△DEA为等腰△
∴EC⊥AD（等腰三线合一）
∴∠ECA=90°
∴AE是圆O直径（直径所对圆周角为90°）

（2）∵圆O半径为5
∴AE=10
∵AC=4
∴EC=2根号21（勾股定理）
∴S△ACE=1/2x4x2根号21=4根号21
∵S圆=πr²=25π S半圆=25/2π
∴S阴影=S圆-S半圆-S△ACE=25/2π-4根号21

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