Question

因式分解的方法及例题

要7年级下学期没有的

Answer 1

因式分解的方法及例题

1、用提公因式法把多项式进行因式分解 

【知识精读】 

如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。 

提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是： 

（1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。 

（2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。 

下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解 【分类解析】 

1. 把下列各式因式分解

说明：在用提公因式法分解因式前，必须对原式进行变形得到公因式，同时一定要注意符号，提取公因式后，剩下的因式应注意化简。    

【实战模拟】   1. 分解因式：

5、中考点拨：

Answer 2

因式分解，也叫分解因式，
因式分解，是主谓短语，
分解因式，是动宾短语，
就是把多项式，变成一个个式子相乘的形式；

如果需要示意图，就看看汉字 “目”、“月” 和 “朋”、“用”，
“月” 和 “目” 就是长为 3，宽分别是 a、b 的两个长方形，
写成 3a + 3b 像 “朋” 就是一个两项式，
如果 “月” 和 “目” 拼成一个 “用”，就是 3(a + b) 的一个长方形，
把 3a + 3b 两项相加的式子变成 3(a+b) 乘积的式子，就是因式分解。

分解因式，也正如分解质因数，
分解质因数，是要把整数变成一个个质数的乘积，在因数中去掉合数；
分解因式，就是把整式变成一个个因式的乘积，尽量降低各个因式的次数，

具体方法，
【第一步，提取公因式】
这也是最简单的方法，
公因式不仅有：系数、字母、单项式（这些我们都熟悉了），
而且，公因式还可能是一个式子，
例如 (a + b)(3m + 2n) + (2m + 3n)(a + b)，公因式是 (a+b)
原式 = ( a + b )( 3m + 2n + 2m + 3n )
= ( a + b )( 5m + 5n ) ——这样再提取系数 5
= 5( a + b )( m + n )

【第二步，公式法】
就是把整式乘法的公式倒过来用，
a" - b" = (a - b)(a + b) ——平方差，
a" + 2ab + b" = (a + b)" ——完全平方和，
a" - 2ab + b" = ( a - b )" ——完全平方差，
a"' + b"' = (a + b)(a" - ab + b") ——立方和，
a"' - b"' = ( a - b )(a" + ab + b") ——立方差，
熟悉公式，熟悉平方数、立方数是关键，

【平方差】还有两个完全平方相减的式子，
例如 9( x + y )" - 4( x + y - 1 )"
= [ 3(x + y) - 2(x + y - 1) ][ 3(x + y) + 2(x + y - 1) ]
= ( 3x + 3y - 2x - 2y + 2 )( 3x + 3y + 2x + 2y - 2 )
= ( x + y + 2 )( 5x + 5y - 2 )

【完全平方式】应该注意
( a - b )"
= [ - ( b - a ) ]" = ( b - a )"
= a" - 2ab + b" = b" - 2ab + a"
而且
( a - b )" = [ a + ( - b ) ]"
= a" - 2ab + b" = a" + 2a(-b) + (-b)"
公式或许就只有一个
( a + b )" = a" + 2ab + b"

【立方和、立方差】
原来两个三次项，分解因式变成五个项，
两个是一次项、三个是二次项，
a"' + b"' = ( a + b )( a" - ab + b" )
a"' - b"' = ( a - b )( a" + ab + b" )

我们看看特征，
两个一次项 a 和 b，正负与原来的三次项 a"' 和 b"' 一样；
三个二次项，a" + b" 还是平方和，中间项 ab 就要与一次项相反。
或者，
看分解因式的五个项，
立方和，只有二次项 ab 为负，其余全都是正；
立方差，除了一次项 b 为负，其余全都是正。

想一想，
二次项 ab，如果立方和换成 +ab，立方差换成 -ab，
再变成 2 不就成了完全立方吗？怎么是立方和、立方差呢？
( a + b )( a" + 2ab + b" ) =( a + b )( a + b )" =( a + b )"'
( a - b )( a" - 2ab + b" ) = ( a - b )( a - b )" = ( a - b )"'
这样看来，立方和是 -ab，立方差是 +ab，就是要加大与完全立方的差别啊！

为了熟悉公式，我们也应该取简单的数字算一算，
2"' - 1"' = 8 - 1
= 7 = 1 X 7
= ( 2 - 1 )( 4 + 2 + 1 )
= ( 2 - 1 )( 2" + 2 + 1 )
相信我们都知道，分解因式是这五个项，
相对困难就是正负符号，不知怎样确定，
这样只要算一算，就能够帮助自己确定符号了。

【第三步，二次三项式分解】
我建议，十字相乘法，结合分组分解法一同使用，
正如 x" + (a + b)x + ab = ( x + a )( x + b )
把单项式 mx = (a+b)x ，拆开变成 ax + bx ，
就能够分组提公因式进行分解。

【】关键是看常数项的正负，决定一次项怎样一分为二，
常数项不变，只是一次项变成相反数，一次项一分为二的绝对值就不变；
一次项不变，只要常数项变成相反数，一次项就要改变一分为二的方式；

前面已经说过，完全平方，b" 必然都是 +b"，
x" + 10x + 25 = ( x + 5 )"
x" - 10x + 25 = ( x - 5 )"
再看看 x" ± 10x ± 24，分解因式 4 种情况都有，

【】如果常数项是正数，
一次项就是拆开两个绝对值比原来小的两个项；
x" + 10x + 24
= x" + 4x + 6x + 24
= x( x + 4 ) + 6( x + 4 )
= ( x + 4 )( x + 6 )

常数项 +24 不变，一次项 ±10x 就都是拆开 4x 与 6x 的和，
x" - 10x + 24
= x" - 4x - 6x + 24
= x( x - 4 ) - 6( x - 4 )
= ( x - 4 )( x - 6 )

【】如果常数项是负数，
一次项系数就是分开两个项的相差数；
x" - 10x - 24
= x" - 12x + 2x - 24
= x( x - 12 ) + 2( x - 12 )
= ( x - 12 )( x + 2 )

常数项 -24 不变，一次项 ±10x 就都是拆开 12x 与 2x 的相差数，
x" + 10x - 24
= x" + 12x - 2x - 24
= x( x + 12 ) - 2( x + 12 )
= ( x + 12 )( x - 2 )

像这样的二次三项式，还有
x" ± 5x ± 6，
x" ± 10x ± 24，
x" ± 15x ± 54，
x" ± 20x ± 96，
x" ± 25x ± 150，
……
8x" ± 26x ± 15，
8x" ± 52x ± 60，
8x" ± 78x ± 135，
……
或者说，这些也就是两组，
x" ± 5xy ± 6y" ，
8x" ± 26xy ± 15y" ，

它们包括了多种具体情况，
让我们也都取值做一做，
感受一下其中的奥秘吧。

【】二次三项式，分解因式，
这样也是技巧、窍门，
关键就看 c 与 a 的正负，
只要熟悉这个方法，
x" + bx + c，
ax" + bx + c，
ax" + bxy + cy"，
我们都同样做得方便。

【复杂的多项式，配方法】
如果上面这些方式方法都不熟悉，
或者二次三项式看起来复杂，不知所措，
还可以使用配方法，
我们还是看看 x" - 10x - 24 ，

x" - 10x - 24
首先配方，把二次项和一次项，变成完全平方，
= x" - 10x + 5" - 25 - 24
= ( x - 5 )" - 49
分解因式，用平方差公式
= ( x - 5 )" - 7"
= ( x - 5 - 7 )( x - 5 + 7 )
= ( x - 12 )( x + 2 )

【分解之后，还要检验】
确保分解彻底，因式分解变形正确，
例如 x^6 - y^6，应该
= ( x"' - y'" )( x"' + y"' )
= ( x - y )( x + y )( x" - xy + y" )( x" + xy + y" )
相当于 64 - 1，
= ( 8 - 1 )( 8 + 1 )
= ( 2 - 1 )( 4 + 2 + 1 )( 2 + 1 )( 4 - 2 + 1 )
= 1 X 7 X 3 X 3
如果先用立方差，做成
= ( 4 - 1 )( 4" + 4 + 1 )
= ( 2 - 1 )( 2 + 1 )( 16 + 4 + 1 )
= 1 X 3 X 21
就还有 21 不是质因数，分解不彻底，也就不正确了。

正如现在的平方差，有两个完全平方式相减，
现在要求分解的式子都比较复杂，要想还原就不方便了，
各种类型的式子，我们就都要熟悉两三种解答方式，
看看不同的方式方法是不是同一个结果，
这样才能够相互检验，确保解答正确。

Answer 3

1,提取公因式法：4ab+2a=2a(2b+1)
2.公式法：a^2+2ab+b^2=(a+b)^2
3.分组分解法：4ab+2a+8ab+4a
=(4ab+2a)+(8ab+4a)
=2a(2b+1)+4a(2b+1)
=(2b+1)(2a+4a)
=6a(2b+1)
4.十字相乘法：3a^2+2a-1=(3a-1)(a+1)

Answer 4

X²＋5X-14=0