Question

已知二次函数y=ax2 bx c(a>0)的图象与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)(x1<x2)两点,与y轴交于点C,x1

Answer 1

解：（1）解方程x2+4x﹣5=0，得x=﹣5或x=1，

由于x1＜x2，则有x1=﹣5，x2=1，∴A（﹣5，0），B（1，0）．

抛物线的解析式为：y=a（x+5）（x﹣1）（a＞0），

∴对称轴为直线x=2，顶点D的坐标为（﹣2，﹣9a），

令x=0，得y=﹣5a，

∴C点的坐标为（0，﹣5a）．

依题意画出图形，如右图所示，则OA=5，OB=1，AB=6，OC=5a，

过点D作DE⊥y轴于点E，则DE=2，OE=9a，CE=OE﹣OC=4a．

S△ACD=S梯形ADEO﹣S△CDE﹣S△AOC

=（DE+OA）•OE﹣DE•CE﹣OA•OC

=（2+5）•9a﹣×2×4a﹣×5×5a

=15a，

而S△ABC=AB•OC=×6×5a=15a，

∴S△ABC：S△ACD=15a：15a=1；

（2）如解答图所示，

在Rt△DCE中，由勾股定理得：CD2=DE2+CE2=4+16a2，

在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC2=OA2+OC2=25+25a2，

设对称轴x=2与x轴交于点F，则AF=3，

在Rt△ADF中，由勾股定理得：AD2=AF2+DF2=9+81a2．

∵∠ADC=90°，∴△ACD为直角三角形，

由勾股定理得：AD2+CD2=AC2，

即（9+81a2）+（4+16a2）=25+25a2，化简得：a2=，

∵a＞0，

∴a=，

∴抛物线的解析式为：y=（x+5）（x﹣1）=x2+x﹣．

Answer 2

在Rt△DCE中，由勾股定理得：CD2=DE2+CE2=4+16a2，在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC2=OA2+OC2=25+25a2，设对称轴x=2与x轴交于点F，则AF=3，在Rt△ADF中，由勾股定理得：AD2=AF2+DF2=9+81a2．∵∠ADC=90°，∴△ACD为直角三角形，由勾股定理得：AD2+CD2=AC2，即（9+81a2）+（4+16a2）=25+25a2，化简得：a2=，∵a＞0，∴a=，∴抛物线的解析式为：y=（x+5）（x﹣1）=x2+x﹣．