Question

关于微分定义中的高阶无穷小o(Δx)的疑问。

微分的定义：设函数y = f(x)在x的邻域内有定义，x0及x0 + Δx在此区间内。如果函数的增量Δy = f(x0 + Δx) − f(x0)可表示为 Δy = AΔx + o(Δx)（其中A是不依赖于Δx的常数），而o(Δx)是比Δx高阶的无穷小，那么称函数f(x)在点x0是可微的，且AΔx称作函数在点x0相应于自变量增量Δx的微分，记作dy，即dy = AΔx。
我想问的是Δx并不一定是无穷小，表达式中怎么能出现Δx的高阶无穷小o(Δx)呢？
我数学一直不好，希望各位数学高手说详细点，谢谢。

Answer 1

Δx并不一定是无穷小
Δx的高阶无穷小o(Δx)的意思是当Δx趋近于0时o(Δx)是比Δx高阶的无穷小
这两个并不矛盾啊？

Answer 2

Δy=f'(a)Δx+αΔx
不妨从几何意义上来理解（我也是查书才知道）
因为f'(a)Δx=dy
Δy=dy+αΔx
其几何意义有当abs(Δx)趋于零时，abs(Δy-dy)远远小于abs(Δx)
即abs(Δy-dy)为Δx的高阶无穷小
而Δy-dy=αΔx
所以Δy=f'(a)Δx+αΔx式中才会出现αΔx

Answer 3

看来你理解错了Δx只是它的增量。