Question

关于微分定义中的高阶无穷小o(Δx)的疑问。

微分的定义：设函数y = f(x)在x的邻域内有定义，x0及x0 + Δx在此区间内。如果函数的增量Δy = f(x0 + Δx) − f(x0)可表示为 Δy = AΔx + o(Δx)（其中A是不依赖于Δx的常数），而o(Δx)是比Δx高阶的无穷小，那么称函数f(x)在点x0是可微的，且AΔx称作函数在点x0相应于自变量增量Δx的微分，记作dy，即dy = AΔx。
我想问的是Δx并不一定是无穷小，表达式中怎么能出现Δx的高阶无穷小o(Δx)呢？
我数学一直不好，希望各位数学高手说详细点，谢谢。

Answer 1

已经说了在x的邻域内，邻域本身无穷小的，这里说的Δx是Δx->0的，也就是后面你要学的dx，微分的定义就是当Δx->0时 Δy/Δx = A 存在 ， 所以在这里本身是有Δx->0的前提，而o(Δx)是Δx的高阶无穷小，所以在这里其实是相对于Δx忽略不计的，所以在记为dy=Adx时 是忽略的
不知道这样说你能明白么 已经很通俗了

Δx是可以任意取值的。当任意取值的时候，|Δx|的值可以取任意小。那么这个其实描述了Δx趋于0的一个过程。Δx，在这里就可以视为一个无穷小量。所以就有了高阶无穷小的提法。
Δy=f'(a)Δx+αΔx
不妨从几何意义上来理解
因为f'(a)Δx=dy
Δy=dy+αΔx
其几何意义有当abs(Δx)趋于零时，abs(Δy-dy)远远小于abs(Δx)
即abs(Δy-dy)为Δx的高阶无穷小
而Δy-dy=αΔx
所以Δy=f'(a)Δx+αΔx式中才会出现αΔx

Answer 2

小o括号里面的东西并不一定是无穷小，比如经常说小o(1)，1也不是无穷小啊~

怎么理解o(Δx)呢？简单地说，固定一点x后，o(Δx)是Δx的一个函数h(Δx)，满足：Δx->0时，h(Δx)/Δx->0（这种极限语言你明白吧？）. 一般我们就说这样的o(Δx)是Δx的高阶无穷小，实际计算时常常忽略掉。

至于Δx，那只是一个记号，完全可以写成h之类的变量，与先前已经取定的x点实际也没有必然联系。

Answer 3

其实这里的意思是说在Δx趋于无穷小时，o(Δx)趋于无穷小的速度要快于Δx，所以o(Δx)称为Δx的高阶无穷小，在这种情况下o(Δx)是可以忽略的，就像我们小学时的四舍五入，假设要取到小数点后第4位，那么第五位就是第四位的高阶无穷小，因为第四位是10的负4次方，第五位是10的负5次方，因而第五位趋于无穷小的速度是第4位的10倍

Answer 4

Δy = AΔx + o(Δx)
Δy = tanρΔx + o(Δx)
从tanρ的图象可以看出
tanρ在接近π/2的时候
一个Δx的变化对应了很多倍的Δy的变化甚至是无穷倍
即Δy/Δx很大。所以用tanρΔx来表示Δy就会变得很不准确。
因此加上一个o(Δx)来把Δx再细分。这样表述的Δy就会更接近于实际的Δy值。
tan 函数不象 sin 和 cos 函数那样 变化平均。它在某一区间上表现出的变化量是惊人的。

Answer 5

已经说了在x的邻域内，邻域本身无穷小的，这里说的Δx是Δx->0的，也就是后面你要学的dx，微分的定义就是当Δx->0时 Δy/Δx = A 存在 ， 所以在这里本身是有Δx->0的前提，而o(Δx)是Δx的高阶无穷小，所以在这里其实是相对于Δx忽略不计的，所以在记为dy=Adx时 是忽略的
不知道这样说你能明白么 已经很通俗了 .

Δy=f'(a)Δx+αΔx
不妨从几何意义上来理解（我也是查书才知道）