Question

已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=1经过点A(2,1),离心率为根号2/2,经过点B(3,0)的直线l与椭圆交于不同的两点M,N

若|MN|=3根号2/2(二分至三倍根号3)，求直线MN的方程。

Answer 1

e=c/a=√2/2，则 a²=2c²，b²=a²-c²=c²；
将点A(2,1)代入椭圆方程中 (2²/a²)+(1²/b²)=1 → [4/(2c²)]+(1/c²)=1，化简得 c²=3=b²，故 a²=6；
椭圆方程为 (x²/6)+(y²/3)=1；
设经过点B(3,0)的直线方程为 y=k(x-3)，代入椭圆方程求交点：(x²/6)+[k²(x-3)²/3]=1；
整理方程 (1+2k²)x²-12k²x+18k²-6=0；此方程的两根即M、N点横坐标 Xm、Xn；
|Xm-Xn|=△/(1+2k²)=√[(-12k²)²-4(1+2k²)(18k²-6)] /(1+2k²)=2[√(6-6k²)]/(1+2k²)；
按题意有 |MN|=|Xm-Xn|*√(1+k²)=2√[6(1+k²)(1-k²)] /(1+2k²)=3√2/2；
化简方程 14(k²)²+6k²-(13/2)=0，解得 k²=1/2；
MN 的方程为 y=±(√2/2)(x-3)；

Answer 2

你好，很高兴为你解答、、、