Question

设n阶矩阵A满足A^2=E,且|A+E|≠0,证明A=E

Answer 1

• n阶矩阵A满足A^2=E,

• ===》矩阵A的零化多项式无重根，并且根只能为正负1，

• ===》矩阵A的最小多项式无重根，并且根只能为正负1，

• ===》矩阵A可以对角化，并且矩阵A的特征值只能为正负1，

• 又因为|A+E|≠0,矩阵A的特征值不为负1，

• ===》矩阵A可以对角化，并且矩阵A的特征值只能为正1，

• ===》证明A=E

 

方法2

• A^2=E===》（A+E）（A-E）=0

• |A+E|≠0===》A+E可逆

• ===》A-E=0===》A=E

   

Answer 2

　　由于
　　　A^2 = E 即 (A+E)(A-E) = 0，
但
　　　|A+E|≠0，
得知齐次方程
　　　(A+E)X = 0
只有零解，因此
　　　(A-E) = 0，
即
　　　A = E。