Question

已知双曲线x²/3-y²=1.若直线y=kx+m与双曲线c交于不同两点MN，线段MN的垂直平分线过

已知双曲线x²/3-y²=1.若直线y=kx+m与双曲线c交于不同两点MN，线段MN的垂直平分线过点A（0.-1）.求实数m的取值范围

Answer 1

把y=kx+m代入x^2/3-y^2=1得
x^2-3(k^2x^2+2kmx+m^2)=3,
整理得(1-3k^2)x^2-6kmx-3m^2-3=0,
1-3k^2≠0，△/4=9k^2m^2+(1-3k^2)(3m^2+3)=3m^2+3-9k^2>0,
∴k^2≠1/3，m^2>3k^2-1,①
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=6km/(1-3k^2),
线段MN的垂直平分线过点A（0,-1）,
<==>|AM|=|AN|,
<==>x1^2+(y1+1)^2=x2^2+(y2+1)^2,
<==>x1^2+(kx1+m+1)^2=x2^2+(kx2+m+1)^2,
<==>(x1-x2)(x1+x2)+k(x1-x2)[k(x1+x2)+2m+2]=0,x1≠x2,
∴(1+k^2)(x1+x2)+2k(m+1)=0,
∴6km(1+k^2)+2k(m+1)(1-3k^2)=0,
∴k=0,m∈R;
或3m(1+k^2)+(m+1)(1-3k^2)=0，[注]
整理得4m=3k^2-1,m=(3k^2-1)/4,②
由①②，m^2>4m,m>=-1/4,
∴m>4或-1/4<=m<0,
∴m的取值范围是R.
注：若题目增加“k≠0”的条件，则m>4或-1/4<=m<0.