Question

在三角形ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且1+tanA/tanB=2c/b

在三角形ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且1+tanA/tanB=2c/b
若向量m=（0，-1），n=（cosB，2cos∧2C/2），试求|m+n|的最小值

Answer 1

|m+n|取最小值√2.
由1+tanA/tanB=2c/b得,
tanB+tanA=2tanB*c/b,由正弦定理得c/b=sinC/sinB,故得
tanB+tanA=2tanB*sinC/sinB=2sinC/cosB
即tanB+tanA=2sinC/cosB
sinB*cosA+sinA*cosB=2sinC*cosA
sin(A+B)=2sinC*cosA,
sinC=sin(180-A-B)=sin(A+B)=2sinC*cosA,sinC=2sinC*cosA,
由sinC不等于零,故得cosA=1/2,A=30,
m+n=(cosB,-1+2(cosC/2)^2)=(cosB,-cosC),B+C=150,C=150-B,
|m+n|^2=(cosB)^2+(cosC)^2=(cosB)^2+(cos(150-B))^2
=2+cos2B+cos(300-2B)=2+cos2B+cos300cos2B+sin300sin2B
=2+cos2B+(1/2)cos2B-(√3/2)sin2B=2+(3cos2B-√3sin2B)/2
=2+√3sin(D-2B),其中tanD=3/(2√3),
当D-2B=0时,|m+n|^2取得最小值2,即|m+n|取得最小值√2,当D-2B=90时,|m+n|^2取得最大值2+√3,即|m+n|取得最大值√(2+√3).

Answer 2

(1)因为
1 tanA/tanB
=1 (sinAcosB)/(cosAsinB)
=(sinAcosB cosAsinB)/(cosAsinB)
=sin(A B)/(cosAsinB)
=sinC/(cosAsinB)
再由正弦定理：sinC/sinB = c/b，所以 1/cosA = 2，从而 cosA = 1/2，A = 60°.

(2)先计算 |m n|�0�5 的最小值，然后开方即可。
利用倍角公式， m n = (cosB，2cos�0�5(C/2)-1) = (cosB，cosC)，所以
|m n|�0�5
=cos�0�5B cos�0�5C
=(1 cos2B)/2 (1 cos2C)/2
=1 (cos2B cos2C)/2 (利用和差化积公式)
=1 cos(B C)cos(B-C)
=1-(1/2)cos(B-C)
所以若要 |m n|�0�5 取最小值，只要 cos(B-C) 取最大值，即 B = C = 60° 时取到。
此时 |m n|�0�5 = 1/2，所以 |m n| = 根号2/2.