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求教大家一个微积分方向的证明问题,在线等,带图!!
哲学上都说了,不能够以特殊推理出一般。如果这是考试里面,我又该如何联想到应该用他给出的函数,这道题就是考察会不会联想到函数,想到了得分就水到渠成,想不到,呵呵......
哲学上都说了,不能够以特殊推理出一般。如果这是考试里面,我又该如何联想到应该用他给出的函数,这道题就是考察会不会联想到函数,想到了得分就水到渠成,想不到,呵呵...
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2个回答
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这里的“不妨设”严格来说是需要分类讨论的,只不过对于函数值为负的情形,讨论过程完全类似,所以它没有加具体说明而已,但这应是你在下面去完成讨论的(如果你不确信的话,当然作者应确信了)。在你自己碰到需要讨论的时候,如果你的论证也是通过“不妨设”只针对一类情形来做的话,那么你私下必须对其他类情形作出分析,如果过程完全类似,则这么做没有问题,否则,你的做法就出问题了。
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对不起,我说错了,我的本意是想问:辅助函数怎么来的?!!
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这是在考察导数的应用中微分中值定理。如果不考虑柯西中值定理,那么我们构造辅助函数时,一般希望所需证明的涉及f 的导数的等式,
能够由辅助函数φ的导数=0变出(罗尔定理);
能够由辅助函数φ的导数=两端点连线的斜率变出(拉格朗日中值定理);
而能满足1或2的辅助函数φ,就需要我们对导数运算经验够丰富才行。
比如该问题中,从结论f′(ξ)=f(ξ)出发我们可有两条试探路线
第一种,往朗格朗日中值定理上靠。结论f′(ξ)=f(ξ)可由f′(ξ)/f(ξ)=1得出,于是猜想φ(x)=lnf(x),只要能证明区间中存在ξ,使得φ′(ξ)=1即可(当然这里最后试探失败)。
第二种,往罗尔定理上靠。希望能够由某个φ′(ξ)=0,来得到f′(ξ)=f(ξ)即f′(ξ)-f(ξ)=0。因此我们希望φ′中至少能够出现因子(f′-f)才行,于是才有了题目中的构造方式(经验)。
当然,除了上面的两条路线外,你还可以试探第三种路线:柯西中值定理。但这时的辅助函数有两个,一般更难想了。
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