Question

求教大家一个微积分方向的证明问题，在线等，带图！！

哲学上都说了，不能够以特殊推理出一般。如果这是考试里面，我又该如何联想到应该用他给出的函数，这道题就是考察会不会联想到函数，想到了得分就水到渠成，想不到，呵呵...

Answer 1

这里的“不妨设”严格来说是需要分类讨论的，只不过对于函数值为负的情形，讨论过程完全类似，所以它没有加具体说明而已，但这应是你在下面去完成讨论的(如果你不确信的话，当然作者应确信了)。在你自己碰到需要讨论的时候，如果你的论证也是通过“不妨设”只针对一类情形来做的话，那么你私下必须对其他类情形作出分析，如果过程完全类似，则这么做没有问题，否则，你的做法就出问题了。

追问

对不起，我说错了，我的本意是想问：辅助函数怎么来的？！！

追答

这是在考察导数的应用中微分中值定理。如果不考虑柯西中值定理，那么我们构造辅助函数时，一般希望所需证明的涉及f 的导数的等式，

1. 能够由辅助函数φ的导数=0变出(罗尔定理)；

2. 能够由辅助函数φ的导数=两端点连线的斜率变出(拉格朗日中值定理)；

而能满足1或2的辅助函数φ，就需要我们对导数运算经验够丰富才行。

比如该问题中，从结论f′(ξ)=f(ξ)出发我们可有两条试探路线

第一种，往朗格朗日中值定理上靠。结论f′(ξ)=f(ξ)可由f′(ξ)/f(ξ)=1得出，于是猜想φ(x)=lnf(x)，只要能证明区间中存在ξ，使得φ′(ξ)=1即可(当然这里最后试探失败)。

第二种，往罗尔定理上靠。希望能够由某个φ′(ξ)=0，来得到f′(ξ)=f(ξ)即f′(ξ)-f(ξ)=0。因此我们希望φ′中至少能够出现因子（f′-f）才行，于是才有了题目中的构造方式(经验)。

当然，除了上面的两条路线外，你还可以试探第三种路线：柯西中值定理。但这时的辅助函数有两个，一般更难想了。

追问

但是你无论怎么设置辅助函数，都是具体到这个函数长什么样，是一个具体的函数，但是这个题目直接给了f（x）是一个未知的抽象的函数，无论这道题怎么做给我的印象就是用特殊推出一般，我们都是大推小，一般推出特殊，你这个反起退有违背哲学常识的嫌疑？你说是不是？

Answer 2

这类题目是很一般的方法 没有你说的那么玄乎
这是构造辅助函数好吧

追问

额 你没有回答我的问题，大哥，不妨设，为什么不妨设这个函数不设另外一个函数？这个函数不具备代表性。你看他的解析来不来就e，e从何而来？无厘头的题目.

追答

那是非零因子 数学上很常见的好吧