Question

求计算积分区间（0到π）xsinx/2-sinx^2dx

急！！！

Answer 1

答：
(0→π) ∫ [xsin(x/2)-sin²x] dx
=(0→π) ∫ -2x d[cos(x/2)]-(0→π) ∫ (1/2)*(1-cos2x) dx
=(0→π) -2xcos(x/2)+2 ∫cos(x/2) dx + (0→π) [x/2-(sin2x)/4]
=(0→π) [-2xcos(x/2)+4sin(x/2)+x/2-(sin2x)/4 ]
=(0+4+π/2-0) - (0+0+0-0)
=4+π/2

追问

不对不对是，（xsinx）/(2-sinx^2)

追答

你确定是这个？太难....

追问

没错呀，不难我也不问了呀

追答

积分函数是：(xsinx) / [2-(sinx)^2] ？

追问

对的

追答

积分函数是：(xsinx) / [2-(sinx)^2] ？

设a=x-π/2
x=π，a=π/2
x=0，a=-π/2
原式=(0→π) ∫ (xsinx)/[2-(sinx)^2] dx
=(-π/2→π/2) ∫ (a+π/2)sin(a+π/2) / [2-sin²(a+π/2)] d(a+π/2)
=(-π/2→π/2) ∫ (a+π/2) cosa /(2-cos²a) da
=(-π/2→π/2) ∫ acosa /(2-cos²a) da +(-π/2→π/2) (π/2) ∫ cosa/(2-cos²a) da
=（奇函数在对称区间积分为0） 0+(-π/2→π/2) (π/2)*∫ 1/(1+sin²a) d(sina)
=（-π/2→π/2) (π/2)*arctan(sina)
=(π/2)*[arctan1-arctan(-1)]
=(π/2)*(π/4+π/4)
=(π/2)²