Question

求定积分：∫1/(1+sinx)dx,（区间0到π/4）

这一步怎么得来的，





Answer 1

∵1/(1+sinx)=1/[sin²(x/2)+cos²(x/2)+2sin(x/2)cos(x/2)]
=1/[sin(x/2)+cos(x/2)]²
=sec²(x/2)/[1+tan(x/2)]²
∴原式=∫(0,π/4)sec²(x/2)/[1+tan(x/2)]²dx
=2∫(0,π/4)d(1+tan(x/2))/[1+tan(x/2)]²
={-2/[1+tan(x/2)]}|(0,π/4)
=2-√2

不定积分

设f（x）是函数f（x）的一个原函数，我们把函数f（x）的所有原函数F（x）+C（C为任意常数）叫做函数f（x）的不定积分，记作，即∫f（x）dx=F（x）+C.其中∫叫做积分号，f（x）叫做被积函数，x叫做积分变量，f（x）dx叫做被积式，C叫做积分常数，求已知函数不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。注：∫f（x）dx+c1=∫f（x）dx+c2, 不能推出c1=c2。

公式汇总不定积分

不定积分的积分公式主要有如下几类：含ax+b的积分、含√（a+bx）的积分、含有x^2±α^2的积分、含有ax^2+b（a>0）的积分、含有√（a²+x^2） （a>0）的积分、含有√（a^2-x^2） （a>0）的积分、含有√（|a|x^2+bx+c） （a≠0）的积分、含有三角函数的积分、含有反三角函数的积分、含有指数函数的积分、含有对数函数的积分、含有双曲函数的积分。

Answer 2

分子 和 分母 都分别乘以1 - sinx
分子：1 - sinx
分母：(1 + sinx)(1 - sinx) = 1 - sin²x = cos²x