Question

一道数学题……急急急急急急！！！！！！！

如图在等边三角形ABC中的边任取一点D,DF交∠ACB的外角平分线CF于F,已知∠ADF=60°，证明△ADF是等边三角形。（图画得不太标准。。原谅点……）

Answer 1

∵△ABC是等边三角形
∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°
∴∠ACE＝180°－∠ACB＝180°－60°＝120°
∵CF平分∠ACE
∴∠ACF＝∠ACE/2＝60°＝∠ABC＝∠ADF
∴ADCF四点共圆
∴∠CAF＝∠CDF
在△ABD中，∠ADC＝∠ABD＋∠BAD＝60°＋∠BAD (外角等于不相邻两内角和)
又∠ADC＝∠ADF＋∠CDF＝60°＋∠CDF
∴∠BAD＝∠CDF，即∠BAD＝∠CAF
∴△ABD≌△ACF (ASA)
∴AD＝AF，即△ADF是等腰三角形
又∠ADF＝60°
∴△ADF是正三角形

Answer 2

这题用四点共圆是最简洁的方法，若没学四点共圆，也可以用全等证明：

在BA上截取BG＝BD，连结DG
∴△BDG是等边三角形
∴∠BGD＝60°
∴∠AGD＝120°＝∠DCF
∵AB＝BC，BD＝BG
∴AG＝DC
∵∠BAD＋∠ADB＝120°＝∠CDF＋∠ADB
∴∠BAD＝∠CDF
∴△ADG≌△DFC
∴AD＝FD
∵∠ADF＝60°
∴△ADF是等边三角形

Answer 3

显然∠ACF=∠ECF=60°
因为∠ADF=∠ACF=60°，所以A、D、C、F四点共圆
所以∠DAF=∠ECF=60°
又∠ADF=60°，所以△ADF是等边三角形