Question

求解一高中数学题目

已知函数f(x)=x^5+ax^3+bx+1,仅当x=-1,x=1时取得极值，且极大值比极小值大4 （1）求a、b的值 （2）求f(x)的极大值和极小值

Answer 1

f'(x)=5x^4+3ax^2+b 仅当x=±1时取得极值, 则有两种情况： 1）5y^2+3ay+b=0有重根y=1, 此时2=-3a/5, b/5=1, 得：a=-10/3, b=5 f(1)=2+a+b=2-10/3+5=11/3 为极大 f(-1)=-a-b=-5/3 为极小 f(1)-f(-1)=16/3<>4, 因此不符 2) 5y^2+3ay+b=0有一个正根y=1, 及另一个负根。此时:5+3a+b=0, 两根积=b/5<0, 即b<0, a=(-b-5)/3 f(1)=2+a+b=2+(-b-5)/3+b=(2b+1)/3为极小 f(-1)=-a-b=(b+5)/3-b=(-2b+5)/3, 为极大 f(-1)-f(1)=(-4b+4)/3=4， 得：b=-2, 因此a=-1 因此结果只能为：a=-1, b=-2

Answer 2

取极值时,需导数f'(x)=5x^4+3ax^2+b=0 将x=±1代入,得5+3a+b=0 将x=±1代入原式,得|1+a+b|=2 联立两式，得a=-3,b=4或a=-1,b=-2 将a=-3,b=4代入原式，得f(x)=x^5-3x^3+4x+1 将x=±1代入,得极大值为3,极小值-1