Question

已知函数f（x）=x?（1+lnx），（x＞0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若k（x-2）＜f（x）对任意

已知函数f（x）=x?（1+lnx），（x＞0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若k（x-2）＜f（x）对任意x≥32恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

（1）因为f′（x）=lnx+2，
令f′（x）=lnx+2＞0，得x＞

1

e2

；
令f′（x）=lnx+2＜0，得0＜x＜

1

e2

；
所以f（x）的递增区间为（

1

e2

，+∞），f（x）的递减区间为（0，

1

e2

）．
（2）解：由（1）知，f（x）=x?（1+lnx），所以k（x-2）＜f（x）对任意x≥32恒成立，
即k＜

x+xlnx

x?2

对任意x≥32恒成立．
令g（x）=

x+xlnx

x?2

，则g′（x）=

?2lnx+x?4

(x?2)2

，
令h（x）=-2lnx+x-4，（x≥32）则h′（x）=

x?2

x

＞0在x≥32恒成立，
所以函数h（x）在x≥32上单调递增．
因为h（32）=28-10ln2＞0，所以g′（x）＞0在x≥32恒成立
g（x）_min=g（32）=

16

15

(1+5ln2)，
∴k＜

16

15

(1+5ln2)．