Question

已知函数f（x）=2ax+1x（a∈R）．（1）当0＜a≤12时，试判断f（x）在（0，1]上的单调性并用定义证明你的

已知函数f（x）=2ax+1x（a∈R）．（1）当0＜a≤12时，试判断f（x）在（0，1]上的单调性并用定义证明你的结论；（2）对于任意的x∈（0，1]，使得f（x）≥6恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）f（x）在（0，1]上的单调性递减，
理由如下：
设x₁，x₂∈（0，1]，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=2ax₁+

1

x1

-2ax₂-

1

x2

=2a（x₁-x₂）+

x2?x1

x1x2

=

x2?x1

x1x2

（1-2ax₁x₂），
∵x₁，x₂∈（0，1]，且x₁＜x₂，0＜a≤

1

2

，
∴x₂-x₁＞0，0＜x₁?x₂＜1，0＜2ax₁x₂＜1，1-2ax₁x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x）在（0，1]上的单调性递减，
（2）∵f（x）=2ax+

1

x

，
∴f′（x）=2a-

1

x2

=

2ax2?1

x2

，
①当a≤0时，f′（x）＜0，
∴函数f（x）在（0，1]单调递减，
∴f（x）_min=f（1）=2a≥6，
解得a≤3，
∴a≤0时，对于任意的x∈（0，1]，使得f（x）≥6恒成立，
②当a＞0时，
令f′（x）=0，解得x=

1 2a

，
当f′（x）＞0，即x＞

1 2a

，函数f（x）单调递增，
当f′（x）＜0，即0＜x＜

1 2a

，函数f（x）单调递减，
当

1 2a

≥1时，即0＜a≤

1

2

时，f（x）在（0，1]上的单调性递减，
∴f（x）_min=f（1）=2a≥6恒成立
解得a≤3，
∴0＜a≤

1

2

时对于任意的x∈（0，1]，使得f（x）≥6恒成立，
当

1 2a

＜1时，即a＞

1

2

时，
∴f（x）在（0，

1 2a

]上的单调性递减，在（

1 2a

，1）上单调递增，
∴f（x）_min=f（

1 2a

）=2a?

1 2a

+

2a

≥6恒成立，
解得a≥

9

2

，
综上所述实数a的取值范围为（-∞，

1

2

]∪[

9

2

，+∞）

Answer 2

引用大白湭m的回答：
（1）f（x）在（0，1]上的单调性递减，理由如下：设x1，x2∈（0，1]，且x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=2ax1+1x1-2ax2-1x2=2a（x1-x2）+x2?x1x1x2=x2?x1x1x2（1-2ax1x2），∵x1，x2∈（0，1]，且x1＜x2，0＜a≤12，∴x2-x1＞0，0＜x1?x2＜1，0＜2ax1x2＜1，1-2ax1x2＞0，∴f（x1）-f（x2）＞0，∴f（x）在（0，1]上的单调性递减，（2）∵f（x）=2ax+1x，∴f′（x）=2a-1x2=2ax2?1x2，①当a≤0时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（0，1]单调递减，∴f（x）min=f（1）=2a≥6，解得a≤3，∴a≤0时，对于任意的x∈（0，1]，使得f（x）≥6恒成立，②当a＞0时，令f′（x）=0，解得x=12a，当f′（x）＞0，即x＞12a，函数f（x）单调递增，当f′（x）＜0，即0＜x＜12a，函数f（x）单调递减，当12a≥1时，即0＜a≤12时，f（x）在（0，1]上的单调性递减，∴f（x）min=f（1）=2a≥6恒成立解得a≤3，∴0＜a≤12时对于任意的x∈（0，1]，使得f（x）≥6恒成立，当12a＜1时，即a＞12时，∴f（x）在（0，12a]上的单调性递减，在（12a，1）上单调递增，∴f（x）min=f（12a）=2a?12a+2a≥6恒成立，解得a≥92，综上所述实数a的取值范围为（-∞，12]∪[92，+∞）

第二问中：a<0时，f(x)min=f(1)=2a+1>6,解得：a>5/2