Question

在RT△ABC中 ∠C=90° AC≠BC且AC>BC，AD平分∠CAB交BC于D BE平分角CBA交AC于E AD BE交于F

已知三角形ABF的面积是a 求四边形ABDE的面积（用含a的式子表示）

Answer 1

四边形ABDE的面积是2a

示意图如下：

为了解题方便，把△ABF分割成小块来计算。现在画一个关于直线AD与E对称的点E'，连接FE'，可知；再画一个关于直线EB与D对称的点D'，连接FD'，可知

。现在，只剩下△EDF和△E'FD'了。怎么样求它们的倍比关系呢？

干脆设∠A=θ，那么：

∠B=90°-θ

∠DAB=∠CAD=θ÷2

∠EBC=∠ABE=(90°-θ)÷2=45°-θ÷2

∠FDC=90°-θ÷2

∠FDB=180°-(90°-θ÷2)=90°+θ÷2

∠DFB=180-(45°-θ÷2)-(90°+θ÷2)=45°

∠DFD'=45°×2=90°

由于EB与AD相交，所以∠AFE=∠DFB=45°，

则∠EFE'=45°×2=90°

这时，△EFD与△E'FD'可以看作是共角三角形，根据其定理可知

所以，图中两个涂色区域面积相等，那么四边形的面积就是两个相等部分面积之和，即2a。

追问

谢谢 我一定提高悬赏

追答

yes