Question

已知函数 f(x)=x+ 1 x （I）判断函数的奇偶性，并加以证明；（II）用定义证明f（x）在（0，1）

已知函数 f(x)=x+ 1 x （I）判断函数的奇偶性，并加以证明；（II）用定义证明f（x）在（0，1）上是减函数；（III）函数f（x）在（-1，0）上是单调增函数还是单调减函数？（直接写出答案，不要求写证明过程）．

Answer 1

证明：（I）函数为奇函数 f(-x)=-x- 1 x =-(x+ 1 x )=-f(x) （II）设x 1 ，x 2 ∈（0，1）且x 1 ＜x 2 f( x 2 )-f( x 1 )= x 2 + 1 x 2 - x 1 - 1 x 1 =( x 2 - x 1 )(1- 1 x 1 x 2 ) = ( x 2 - x 1 )( x 1 x 2 -1) x 1 x 2 ∵0＜x 1 ＜x 2 ＜1，∴x 1 x 2 ＜1，x 1 x 2 -1＜0， ∵x 2 ＞x 1 ∴x 2 -x 1 ＞0． ∴f（x 2 ）-f（x 1 ）＜0，f（x 2 ）＜f（x 1 ） 因此函数f（x）在（0，1）上是减函数 （III）f（x）在（-1，0）上是减函数．