Question

已知△ABC为等边三角形，AB=6，P是AB上的一个动点（与A、B不重合），过点P作AB的垂线与BC相交于点D，以点

已知△ABC为等边三角形，AB=6，P是AB上的一个动点（与A、B不重合），过点P作AB的垂线与BC相交于点D，以点D为正方形的一个顶点，在△ABC内作正方形DEFG，其中D、E在BC上，F在AC上，（1）设BP的长为x，正方形DEFG的边长为y，写出y关于x的函数解析式及定义域；（2）当BP=2时，求CF的长；（3）△GDP是否可能成为直角三角形？若能，求出BP的长；若不能，请说明理由．

Answer 1

（1）∵△ABC为等边三角形， ∴∠B=∠C=60°，AB=BC=AC=6．（1分） ∵DP⊥AB，BP=x， ∴BD=2x．（1分） 又∵四边形DEFG是正方形， ∴EF⊥BC，EF=DE=y， ∴ EC= 3 3 y ．（1分） ∴ 2x+y+ 3 3 y=6 ，（2分） ∴ y=( 3 -3)x+9-3 3 ．（1分） （6-3 3 ≤x＜3）（1分） （2）当BP=2时， y=( 3 -3)×2+9-3 3 = 3- 3 ．（1分） CF= 2y 3 =2 3 -2 ．（1分） （3）△GDP能成为直角三角形．（1分） ①∠PGD=90°时， 6-x= 3 y+y ， 6-x=( 3 +1)? [( 3 -3)x+9-3 3 ] ， 得到： x= 30-6 3 11 ．（2分） ②∠GPD=90°时，G在AB上，参照（1）．