Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 2c-b a = cosB cosA ．（Ⅰ）求

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 2c-b a = cosB cosA ．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若 a=2 5 ，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）∵ 2c-b a = cosB cosA ， 所以（2c-b）?cosA=a?cosB 由正弦定理，得（2sinC-sinB）?cosA=sinA?cosB． 整理得2sinC?cosA-sinB?cosA=sinA?cosB． ∴2sinC?cosA=sin（A+B）=sinC． 在△ABC中，sinC≠0． ∴ cosA= 1 2 ， ∠A= π 3 ． （Ⅱ）由余弦定理 cosA= b 2 + c 2 - a 2 2bc = 1 2 ， a=2 5 ． ∴b 2 +c 2 -20=bc≥2bc-20 ∴bc≤20，当且仅当b=c时取“=”． ∴三角形的面积 S= 1 2 bcsinA≤5 3 ． ∴三角形面积的最大值为 5 3 ．